Kategoria: Matematikë

logjik
23/04/2023 nga Joer.al 0 Komente

Bazat e matematikës: Rëndësia e Logjikës

Apeli i Daniele Gouthier për mësuesit për të ndihmuar fëmijët të kuptojnë lidhjen e pazgjidhshme midis logjikës, matematikës dhe mendimit racional.

Nëse nuk e kërkojmë kuptimin e matematikës, e mësojmë dhe e mësojmë më keq. Ose më keq akoma, nuk e mësojmë dhe nuk e mësojmë fare.

BAZAT E MENDIMIT

Një ndjenjë që unë personalisht e shoh në matematikë është edukimi në abstraksion dhe të menduarit racional. Mendimi racional është ai mendim që di të nxjerrë pasoja nga premisat, duke nxjerrë gjithçka që mund të deduktohet dhe asgjë më shumë.

Ofroni nxënësve tuaj këto tre shembuj, duke i bërë ata të punojnë në grupe të vogla për rreth njëzet minuta.

Të gjithë njerëzit janë të vdekshëm.

Të gjithë evropianët janë burra.

Pra, të gjithë evropianët janë të vdekshëm.

Të gjithë rombët kanë anët paralele.

Të gjithë katrorët kanë rombe.

Pra, të gjithë katrorët kanë brinjë paralele. 

Të gjithë shumëfishat e 4 janë çift.

Të gjitha shumëfishat e 20 janë shumëfisha të 4.

Pra, të gjithë shumëfishat e 20 janë çift.

Në këtë pikë pyetini nëse janë të treja të vërteta. Nëse rreshti i tretë i secilit shton diçka ose nëse mund ta shkruante vetë duke filluar nga dy rreshtat e parë. Por mbi të gjitha, pyesni ata se çfarë kanë të përbashkët të katër shembujt. Lërini të argumentojnë, eksperimentojnë, hedhin poshtë.

Nuk ka rëndësi që thonë gjërat “e duhura”, e rëndësishme është që ata të arsyetojnë rreth këtyre katër shembujve.

Le të ndalemi pak në të katërtën, atë të claffi, pirzi dhe koos. Çfarë thotë ai? Une nuk e di! Unë personalisht nuk e kuptoj kuptimin e saj. Por e kuptoj si e thotë. E kuptoj strukturën, logjikën e saj. Logjika është tërësia e marrëdhënieve që “karakterizojnë vetë strukturën e mendimit”, përtej asaj që do të thotë apo jo mendimi.

Le të shohim se çfarë logjike është me një problem që është i përshtatshëm edhe për fëmijët.

Këto karta janë të ngjyrosura në njërën anë dhe kanë një zanore në anën tjetër.
Carlo thotë “Nëse një kartë është e kuqe, atëherë ka një ‘A’ në anën tjetër”.
Për të verifikuar nëse Carlo po thotë të vërtetën, cilat letra duhet të kthejmë? (Duam të gjuajmë sa më pak).

 

Edhe këtu ka shumë kuptim që të lini diskutimin të zhvillohet për rreth dhjetë minuta në të gjithë klasën ose, nëse kushtet lejojnë, në grupe të vogla.

Përgjigja e saktë është se duhet të kthehen tre letra: e kuqja, “E” dhe “O”.

E kuqe sepse duhet të verifikojmë nënkuptimin e drejtpërdrejtë “Nëse pjesa e pasme është e kuqe, pjesa e përparme ka një A”. Dy të tjerat sepse duhet të testojmë nënkuptimin e kundërt «Nëse pjesa e përparme nuk ka një A, pjesa e pasme nuk është e kuqe». Janë përgjigjet e këtyre dy pyetjeve të cilat së bashku na tregojnë nëse Carlo thotë të vërtetën apo jo.

Mekanizmat logjikë që kemi parë janë të dy llojeve të ndryshme:

Të gjitha B-të janë A. Të gjitha C-të janë B. Pra të gjitha C-të janë A.

Silogjizmi i Logjikës

Nëse C është B, atëherë ajo që nuk është B nuk është C.

I pari quhet “silogizëm”, i dyti “implikim invers” dhe janë dy mekanizmat logjikë në bazë të deduksioneve tona, demonstrimet e matematikës dhe mendimit racional.

Ia vlen të investoni pak kohë në të që fëmijët dhe të rinjtë të njihen me ta.

numrat
20/10/2022 nga Joer.al 0 Komente

Numrat dhe masat

Në Egjiptin e lashtë, të jesh fermer do të thoshte të kultivoje tokën, por edhe të rrije vigjilent dhe të kesh shumë durim: çdo vit, gjatë sezonit të shirave, lumi Nil përmbytte fushat dhe fshinte të gjithë kufijtë e pronave bujqësore. Për të zgjidhur këtë problem, egjiptianët shpikën figurën e topografit të tokës: një paraardhës i topografit aktual, puna e të cilit konsistonte në gjurmimin e kufijve të vjetër dhe të rinj me ndihmën e një litari, duke llogaritur dhe matur përmasat e secilës pronë … jo rastësisht gjeometria lind dhe zhvillohet në Egjiptin e lashtë!

Sistemi egjiptian është në fakt ndër sistemet më të zhvilluara të qytetërimeve të lashta: figurat numerike përfaqësoheshin me një seri hieroglifësh të datuar rreth vitit 3000 para Krishtit. që tashmë ndiqte sistemin dhjetor, të njëjtin që përdorim sot!

Por vetëm në Greqinë e lashtë thellohet studimi i numrave pa qenë pikënisja kërkimi i një zgjidhjeje për një problem praktik (siç është, në fakt, llogaritja e matjes së fushave).

Në veçanti, në shkollën e matematikanit Pitagora, nxënësit përfaqësonin numrat natyrorë përmes një sërë guralecash të renditur ndryshe sipas figurës së studiuar. Duke u nisur nga analiza e konfigurimeve të guralecave, pitagorianët nxorrën ligje të reja matematikore dhe gjeometrike. Për shembull, ata zbuluan vetitë e numrave çift dhe tek dhe shpikën teoremën e famshme që lidh gjatësinë e brinjëve të ndryshme të një trekëndëshi kënddrejtë. Me pak fjalë, falë shkollës së Pitagorës, matematika bëhet një shkencë e vërtetë!

Për Pitagorën i gjithë universi qeveriset nga ligjet matematikore dhe numri bëhet parimi që qeveris të gjitha gjërat. Shtrirja e tezës së tij pasqyrohet në kuptimin e fjalës numër e cila, duke kaluar nëpër latinishten nŭmĕrus, rrjedh nga greqishtja nómos dhe do të thotë përdorim, normë, ligj.

Nëse interpretimi i Pitagorës ndërton themelet e shkencës matematikore, për shekuj vazhdoi një pengesë e madhe për të penguar universalitetin e gjuhës numerike: çdo bashkësi adoptoi një sistem të ndryshëm matjeje dhe jo të gjitha njësitë matëse ishin të qarta dhe objektive.

Si të zgjidhet ky problem?

Një zgjidhje u gjet gjatë Revolucionit Francez, kur u përcaktua njësia e matjes së gjatësisë: metri, ose dhjetë e milionta e distancës midis Polit të Veriut dhe ekuatorit. Dy astronomë, Jean-Baptiste Delambre dhe Pierre Méchain, u ngarkuan për të verifikuar matjen dhe atyre iu deshën më shumë se gjashtë vjet për të përfunduar një llogaritje që, pavarësisht përpikmërisë, përmbante një gabim të vogël matjeje. Kur Méchain zbuloi atë papërsosmëri, ai mbeti i fiksuar pas saj për pjesën tjetër të ekzistencës së tij.

Kjo është një nga arsyet pse ia vlen të kujtohet ndërmarrja e tyre: për qëndrueshmëri, natyrisht, dhe për saktësi. Por mbi të gjitha për atë rezultat shumë të rëndësishëm dhe paksa të papërsosur, një synim që bëri të mundur adoptimin e një sistemi matjeje universale dhe, në të njëjtën kohë, një simbol të marzhit të pashmangshëm me të cilin përballet në çdo proces llogaritjeje: gabimi i matjes.

Jean-Baptiste Delambre
Pierre Méchain

teorema-pitagores
04/11/2021 nga Joer.al 0 Komente

Teorema e Pitagorës (program për ta llogaritur online)

Teorema e Pitagorës thotë: Në çdo trekëndësh këndrejtë shuma e katrorëve te kateteve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës.

Formula

Llogarit nëpërmjet aplikacionit

Ky shfletues nuk e mbështet kanavacën HTML5!
a = 27a² = 729
b = 80b² = 6400
c = 84,43341c² = 7129
W. Fendt 2001